弧的中点，长出一条切线

漳州中考 · 圆与切线

切线的来历

AB 是 ⊙O 的直径，C 平分弧 BE，CD ⊥ AE 于 D。CD 与 ⊙O 是什么关系？

读图

连 OC、AC、BC

圆 O 中 AB 为直径，C 是弧 BE 的中点，CD 垂直于 AE 于 D

A

B

O

C

E

D

1

2

C 平分弧 BE，所以弧 BC = 弧 CE，圆周角 ∠1 = ∠2。

证明

把 ∠2 搬到圆心

弧 BC = 弧 CE同弧所对圆周角相等，得 ∠1 = ∠2

OA = OC△OAC 是等腰三角形，得 ∠OCA = ∠1

等量代换∠OCA = ∠2，内错角相等，得 OC ∥ AD

OC ⊥ CD，

CD 与 ⊙O 相切。

因为 OC ∥ AD，而 CD ⊥ AD，所以 OC ⊥ CD；C 在圆上，CD 就是切线。

第 2 问

把长度放进 Rt△ACD

直角三角形 ACD，角 D 为直角，AD 等于 2，AC 等于根号 6，CD 等于根号 2

∠1

2

√6

√2

A

D

C

AD = 2，AC = √6，勾股得 CD = √2，于是 cos∠1 = AD ÷ AC = √6/3。

直径所对的圆周角

等于 90°。

所以 △ABC 是直角三角形，AB 是斜边，AC 是 ∠1 的邻边。

AB 的长

3

AB = AC ÷ cos∠1 = √6 ÷ (√6/3) = 3。

切线靠平行，

长度靠余弦。

弧的中点 → 等角 → 平行 → 垂直；直角三角形 → 余弦 → 直径。